Le but de cette UE est de présenter quelques outils de base du modélisateur et de l’utilisateur (éclairé) de modèles mathématiques, en s’appuyant principalement sur des applications en dynamique des populations. Le cours est consacré à des modèles déterministes de dynamique de populations.

On s’intéresse successivement aux modèles en temps discret, linéaires (que les biologistes appellent modèles de Malthus) ou affines, 1D puis 2D. Le cas 2D nous permet de rappeler et d’utiliser des outils d’algèbre linéaire vus au premier semestre, concernant les matrices 2 × 2. On développe ensuite des outils efficaces, et relativement simples, permettant de déterminer le comportement qualitatif de nombreux modèles non linéaires, toujours en temps discret, et 1D uniquement (la situation en dimension supérieure étant redoutablement plus compliquée, dès la dimension 2, et hors d’atteinte pour ce cours).

Puis on aborde l’étude des modèles en temps continu, qui, bénéficiant de toute la puissance du calcul différentiel, se révèle par de nombreux aspects paradoxalement plus simple qu’en temps discret. De nouveau, on résout complètement les modèles linéaires (de Malthus) et affines 1D, puis 2D. On adapte au temps continu les outils qualitatifs développés pour le temps discret, ce qui permet de traiter relativement aisément tous les modèles non linéaires 1D et tous les modèles 2D linéaires ou affines.

On effectue des rappels sur les bases mathématiques nécessaires à l’étude des modèles envisagés, au fur et à mesure et selon les besoins, et la majeure partie des séances est dévolue à la résolution de nombreux exercices.

Table des matières

Premier fascicule : Introduction générale et modèles en temps discret

1. Motivation générale
2. Introduction aux systèmes dynamiques en temps discret
3. Modèles de Malthus en temps discret
4. TD sur les modèles de Malthus en temps discret
5. Systèmes dynamiques 1D en temps discret
6. TD sur les systèmes dynamiques 1D en temps discret
7. Systèmes dynamiques linéaires 2D en temps discret
8. TD sur les systèmes dynamiques linéaires 2D en temps discret

Second fascicule : Modèles en temps continu et sujets d’examen

9. Introduction aux systèmes dynamiques en temps continu
10. Modèles de Malthus en temps continu
11. TD sur les modèles de Malthus en temps continu
12. Systèmes dynamiques 1D en temps continu
13. TD sur les systèmes dynamiques 1D en temps continu
14. Systèmes dynamiques linéaires 2D en temps continu
15. TD sur les systèmes dynamiques linéaires 2D en temps continu

16. Fonctions usuelles
17. Sujets d’examen